Aussagenlogik

Informationen zur Vorlesungen Juristische Methodenlehre, die im dritten Semester an der Universität des Saarlandes gehalten wird.

Inhaltsverzeichnis

  1. Grundlegendes
    1. Aussagen
    2. Negation
      1. Beispiel
    3. Konjunktion
      1. Beispiel
    4. Disjunktion
      1. Beispiel
    5. Implikation
      1. Beispiel
    6. Replikation
      1. Beispiel
    7. Äquivalenz
      1. Beispiel
    8. Weitere Junktoren
  2. Allgemeingültigkeit anhand von Wahrheitstabellen prüfen
    1. Beispiel 1
    2. Beispiel 2
    3. Beispiel 3
  3. Literatur

1. Grundlegendes

1.1. Aussagen

Jede Aussage (p, q, r usw.) ist entweder wahr (w) odr falsch (f). X-( X-( >:>

Durch die nachfolgenden Junktoren kann man aus mehreren Einzelaussagen (z. B. "Der Ball ist rot.", "Der Ball ist aus Kunststoff.") eine neue Aussage zusammensetzen (z. B. "Der Ball ist rot und aus Kunststoff."). Ob diese zusammengesetzte Aussage wahr ist, hängt von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen ab.

1.2. Negation

Negation

p

¬p

w

f

f

w

Bei der Negation werden die Wahrheitswerte einfach umgedreht: Die Negation (also das Gegenteil) von "Der Hund lebt" ist "Der Hund ist tot".

1.2.1. Beispiel

Der Hund lebt.

Der Hund lebt nicht, tot.

w

(= Der Hund lebt. Also ist die Aussage "Der Hund lebt nicht":)

f

f

(= Der Hund lebt nicht. Also ist die Aussage "Der Hund lebt nicht":)

w

1.3. Konjunktion

Konjunktion

p

q

p ^ q

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

f

Bei der Konjunktion ist die zusammengesetzte Aussage (p und q) dann wahr, wenn die einzelnen Aussagen (sowohl p als auch q) wahr sind.

1.3.1. Beispiel

Es ist Samstag.

Es ist Nachmittag.

Es ist Samstagnachmittag.

w

w

(= Es ist Samstag, und es ist Nachmittag. Also:)

w

w

f

(= Es ist Samstag, aber es ist nicht Nachmittag. Also:)

f

f

w

(= Es ist nicht Samstag, aber es ist Nachmittag. Also:)

f

f

f

(= Es weder Samstag noch Nachmittag. Also:)

f

1.4. Disjunktion

Disjunktion

p

q

p v q

w

w

w

w

f

w

f

w

w

f

f

f

Bei der Disjunktion muss mindestens eine der einzelnen Aussagen (entweder p oder q oder beide) wahr sein, damit die zusammengesetzte Aussage (p oder q - einschließendes ODER) wahr ist.

1.4.1. Beispiel

Er raucht.

Er säuft.

Er raucht, oder er säuft.

w

w

(= Er raucht, und er säuft. Also:)

w

w

f

(= Er raucht, aber säuft nicht. Also:)

w

f

w

(= Er raucht nicht, aber säuft. Also:)

w

f

f

(= Weder raucht er, noch säuft er. Also:)

f

1.5. Implikation

Implikation

p

q

p -> q

w

w

w

w

f

f

f

w

w

f

f

w

p ist hinreichende Bedingung für q. Also ist q immer dann wahr, wenn p wahr ist. (Wenn dagegen p falsch ist, kann q trotzdem wahr sein.)

1.5.1. Beispiel

Frau schlägt Mann.

Mann weint.

Immer dann, wenn die Frau den Mann schlägt, weint der Mann.

w

w

(= Frau schlägt Mann, und Mann weint. Also:)

w

w

f

(= Frau schlägt Mann, aber Mann weint nicht. Also:)

f

f

w

(= Frau schlägt Mann nicht, Mann weint trotzdem. Also:)

w

f

f

(= Frau schlägt Mann nicht, und Mann weint nicht. Also:)

w

1.6. Replikation

Replikation

p

q

p <- q

w

w

w

w

f

w

f

w

f

f

f

w

p ist notwendige Bedingung für q. Also kann q nur dann wahr sein, wenn auch p wahr ist. (Allerdings muss q nicht wahr sein, wenn p wahr ist.)

1.6.1. Beispiel

Im Tank ist Benzin.

Der Motor springt an.

Nur dann, wenn im Tank Benzin ist, springt der Motor an.

w

w

(= Im Tank ist Benzin, und der Motor springt an. Also:)

w

w

f

(= Im Tank ist Benzin, aber der Motor springt nicht an. Also:)

w

f

w

(= Im Tank ist kein Benzin, aber der Motor springt trotzdem an. Also:)

f

f

f

(= Im Tank ist kein Benzin, und der Motor springt nicht an. Also:)

w

1.7. Äquivalenz

Äquivalenz

p

q

p <=> q

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

w

p ist sowohl hinreichend als auch notwendig für q.

1.7.1. Beispiel

Die Heizung ist an.

Die Heizung heizt.

Immer dann und nur dann, wenn die Heizung an ist, heizt sie.

w

w

(= Die Heizung ist an und heizt. Also:)

w

w

f

(= Die Heizung ist an und heizt nicht. Also:)

f

f

w

(= Die Heizung ist aus und heizt trotzdem. Also:)

f

f

f

(= Die Heizung ist aus und heizt auch nicht. Also:)

w

1.8. Weitere Junktoren

Siehe Übersicht (pdf-Format).

2. Allgemeingültigkeit anhand von Wahrheitstabellen prüfen

Die folgenden drei Beispiele sind inhaltlich der Abschlussklausur "Logik und Informatik für Juristen" des Wintersemesters 2002/03 (Prof. Herberger) entnommen.

2.1. Beispiel 1

Aufgabe: Prüfen, ob (¬ (p v q) <=> ¬p ^ ¬q) allgemeingültig ist.

Du schreibst die Aussage auf und spielst alle Variationen durch. Bei zwei Variablen (=> 2² = 4 Möglichkeiten) bedeutet das also:

  1. p wahr, q wahr

  2. p wahr, q falsch

  3. p falsch, q wahr

  4. p falsch, q falsch

Diese Werte setzt Du in die in die Wahrheitstafel ein:

Aus dem Wert von p (Spalte 1) und dem Wert von q (Spalte 2) kannst Du den Wert von ¬p (Spalte 3) und den Wert von ¬q (Spalte 4) ermitteln - einfach umkehren:

Nun ermittelst Du in der Spalte 5 den Wert von p v q aus den Spalten 1 und 2 (Disjunktion):

Da vor p v q ein Negationszeichen steht, musst Du den Wert aus Spalte 5 umkehren und in Spalte 6 eintragen:

Jetzt ermitteln wir aus den Spalten 3 und 4 den Wert für ¬p ^ ¬q (Konjunktion):

Und jetzt können wir uns an die gesamte Behauptung wagen, nämlich

Also müssen wir die Äquivalenz-Regeln anwendel

In Spalte 8 steht "wwww". Das bedeutet, dass die Behauptung ¬ (p v q) <=> ¬p ^ ¬q gültig ist, wenn ...

Egal, welche Werte man für die Variablen einsetzt, die Aussage ¬ (p v q) <=> ¬p ^ ¬q ist also stets wahr, daher ist sie allgemeingültig. (Würde bei mindestens einer Variation ein "f" herauskommen, wäre die Aussage nicht allgemeingültig, z.B. bei "wwfw" oder "ffff".)

2.2. Beispiel 2

Aufgabe: Ist folgender Schluss allgemeingültig?

(p und q) -> r
-p
_______________
-r

Bei den Aufgaben mit Ober-, Unter- und Schlusssatz musst Du erst einmal eine Formel entwickeln.

Wenn sowohl der Obersatz als auch der Untersatz wahr ist (= Konjunktion), dann ist auch der Schlusssatz wahr (= Implikation). Die Formel lautet also:

Da es hier drei Variablen gibt, ist die Tabelle auch etwas länger (2³ = 8 Möglichkeiten):

Das Auflösen geht entsprechend:

  1. Aus Spalte 1 (p) durch Umkehrung die Spalte 4 (¬p) ermitteln.

  2. Aus Spalte 3 (r) durch Umkehrung die Spalte 5 (¬r) ermitteln.

  3. Aus Spalte 1 (p) und Spalte 2 (q) durch Konjunktion die Spalte 6 (p und q) ermitteln.

  4. Aus Spalte 6 (p und q) und Spalte 3 (r) durch Implikation die Spalte 7 ((p und q) -> r) ermitteln.

  5. Aus Spalte 7 ((p und q) -> r) und Spalte 4 (¬p) durch Konjunktion die Spalte 8 ([(p und q) -> r] und ¬p) ermitteln.

  6. Aus Spalte 8 ([(p und q) -> r] und ¬p) und Spalte 5 (¬r) durch Implikation die Spalte 9 ([[(p und q) -> r] und ¬p] -> ¬r) ermitteln.

Als Wahrheitstabelle:

Spalte 9 ergibt "wwwwfwfw". Für die beiden Fälle

ist die Aussage [[(p und q) -> r] und ¬p] -> ¬r also falsch. Daher ist sie nicht allgemeingültig.

2.3. Beispiel 3

Aufgabe: Ist folgender Schluss allgemeingültig?

(p und q) <- r 
-p
________________
-r

Beispiel 3 geht wie Beispiel 2, nur dass in Spalte 7 nicht Implikation sondern Replikation angewendet werden muss. Man erhält als Wahrheitstabelle:

Es kommt in Spalte 9 "wwwwwwww" heraus. Man kann also für p, q und r einsetzen, was man will, die Aussage [[(p und q) <- r] und ¬p] -> ¬r ist immer wahr, daher ist sie allgemeingültig.

3. Literatur

DrittSemesterSb - VorlesungSb/JuristischeMethodenlehre

VorlesungSb/JuristischeMethodenlehre/AussagenLogik (zuletzt geändert am 2014-01-31 09:18:11 durch RalfZosel)